이론단수 계산은 머무름시간(tR)과 반높이 피크폭(Wh)을 같은 단위로 읽어 N = 5.54 × (tR/Wh)²에 넣는 방식이 현재 기본이다. 기준선 폭(Wb)을 쓰는 N = 16 × (tR/Wb)²는 대칭 피크에서 거의 같은 값을 준다. 다만 꼬리 끌림 피크나 계산 방식이 섞인 추세 자료에서는 두 결과가 벌어지므로, 어떤 식을 썼는지 함께 기록해야 한다.
목차
이론단수 계산, 결론부터 보면 두 가지 공식이다
이론단수(N)는 피크의 머무름시간(tR)과 피크 폭을 재서 계산한다. 반높이에서 잰 폭(Wh)을 쓰면 N = 5.54 × (tR/Wh)²이다. 피크 양쪽 변곡점에 그은 접선이 기준선과 만나는 폭(Wb)을 쓰면 N = 16 × (tR/Wb)²이다.
USP <621>은 2022년 12월 1일부터 이론단수를 계산할 때 반높이 폭을 쓰도록 바꿨다. 유럽약전(EP)·일본약전(JP)과 계산 결과를 맞추기 위한 개정이다. 지금 쓰는 데이터 처리 소프트웨어도 대부분 반높이 식을 기본값으로 둔다.
이론단수는 컬럼이 성분 띠를 얼마나 좁게 유지한 채 내보내는지를 나타내는 효율 지표다. 머무름시간이 같다면 피크가 좁을수록 N이 커진다.
이 식은 피크 모양이 가우스 분포(좌우 대칭인 종 모양)에 가깝고, 등용매 조건(이동상 조성이 처음부터 끝까지 일정한 조건)에서 얻은 피크에 맞는다. 꼬리 끌림이 큰 피크나 기울기 용리 피크에 같은 식을 쓰면 결과의 의미가 달라진다. 이 경우는 뒤에서 따로 다룬다.
이론단수 계산 두 공식 비교
| 구분 | 반높이 식 | 접선(기준선) 식 |
|---|---|---|
| 공식 | N = 5.54(tR/Wh)² | N = 16(tR/Wb)² |
| 폭 재는 위치 | 피크 높이의 1/2 | 변곡점 접선과 기준선 교점 |
| 가우스 피크에서 폭 | 약 2.355σ | 4σ |
| 현행 USP <621> | 2022.12.1부터 사용 | 이론단수에 더 이상 사용 안 함 |
반높이 폭으로 이론단수 계산하는 순서와 숫자 예시
계산은 크로마토그램에서 두 값을 읽고, 단위를 맞춘 다음, 식에 넣는 순서로 한다. 소프트웨어가 자동으로 계산해 주더라도 어떤 폭을 썼는지 알아야 결과를 제대로 해석할 수 있다.
가상의 예시로 계산해 본다. 어떤 피크의 머무름시간이 6.00분이고 반높이 폭이 0.10분이라고 하자. tR/Wh = 6.00 ÷ 0.10 = 60이고 60² = 3,600이다. 여기에 5.54를 곱하면 5.54 × 3,600 = 19,944이므로, 이 피크의 이론단수는 약 19,900단이다.
같은 피크가 이상적인 가우스 모양이라면 기준선 폭은 약 0.17분이 된다. 접선 식에 넣으면 16 × (6.00 ÷ 0.17)² ≈ 16 × 35.29² ≈ 16 × 1,245.7 ≈ 19,931이다. 반높이 식과 거의 같은데, 두 식이 대칭 피크에서 같은 값을 내도록 만들어졌기 때문이다.
단위는 반드시 맞춘다. 위 예에서 tR은 분(6.00)으로, Wh는 초(6초)로 넣으면 tR/Wh = 1이 되고 N = 5.54라는 의미 없는 값이 나온다. 시간 대신 기록지 위 거리(mm)나 부피(mL)로 재도 되지만, 분자와 분모는 같은 단위여야 한다.
반높이 폭으로 N 구하는 순서
- 머무름시간 읽기
피크 꼭짓점의 tR (가상 예시: 6.00분) - 반높이 폭 읽기
피크 높이 1/2 지점의 폭 Wh (가상 예시: 0.10분) - 단위 맞추기
tR과 Wh를 같은 단위(분, 초, mm 등)로 통일 - 비 제곱 후 5.54 곱하기
(6.00/0.10)² = 3,600 → 5.54 × 3,600 = 19,944 - 계산 방식 기록
반높이 식인지 접선 식인지 결과와 함께 남김
5.54와 16은 어디서 나온 숫자인가
두 상수는 피크를 가우스 분포로 볼 때의 표준편차(σ, 피크가 퍼진 정도)에서 나온다. 이론단수의 정의는 N = (tR/σ)²이다. 크로마토그램에서 σ를 직접 재기 어렵기 때문에, 잴 수 있는 폭으로 바꿔 쓴다.
가우스 피크에서 접선법으로 잰 기준선 폭은 4σ이다. 따라서 (tR/σ)² = (4tR/Wb)² = 16(tR/Wb)²가 된다. 반높이 폭은 약 2.355σ이고 2.355²는 약 5.545이므로 5.54(tR/Wh)²가 된다. 5.54는 8 × ln2를 반올림한 값이다.
이 유래를 알아야 하는 이유는 두 식이 같다는 전제가 '피크가 대칭'이라는 가정 위에 있기 때문이다. 피크가 비대칭이면 반높이 폭과 기준선 폭의 비율이 가우스 피크와 달라지고, 두 식의 결과도 서로 벌어진다.
같은 소프트웨어 안에서도 계산 옵션 이름이나 버전에 따라 쓰는 폭의 정의가 다를 수 있다. 결과표를 볼 때는 N 값 옆에 어떤 계산 방식이 적혀 있는지 먼저 확인한다.
이론단높이(HETP)와 유효 이론단수로 넓혀 보기
이론단수는 컬럼 길이에 비례해 커진다. 그래서 길이가 다른 컬럼끼리 비교할 때는 이론단높이(HETP, H)를 쓴다. H = L/N이며, 이론단 하나에 해당하는 컬럼 길이를 뜻한다. 값이 작을수록 효율이 좋다.
앞의 가상 예시 피크를 길이 150 mm 컬럼에서 얻었다고 하자. H = 150 mm ÷ 19,944 ≈ 0.0075 mm, 즉 약 7.5 µm이다. 길이가 다른 컬럼에도 같은 계산을 하면 길이 차이를 뺀 상태로 효율을 비교할 수 있다.
GC에서는 머무르지 않는 성분이 나오는 시간(tM, 공극 시간)을 뺀 보정 머무름시간 t'R = tR − tM을 써서 유효 이론단수(Neff)를 구하기도 한다. 식 모양은 같고 tR 자리에 t'R을 넣는다. 머무름이 작은 피크일수록 N과 Neff의 차이가 커지므로, 보고서에는 어느 쪽을 썼는지 적는다.
컬럼 제조사 성적서에 적힌 N은 컬럼 외 부피가 작은 장비에서 정해진 시험 성분으로 잰 값이다. 해설 자료에서도 일반 실험실 조건에서는 제조사 시험 조건보다 N이 낮게 나온다고 설명한다. 자기 장비에서 성적서 값이 나오지 않는다고 바로 컬럼 불량으로 판단하지 않는다.
이론단수 계산에서 흔히 틀리는 지점
첫째, 꼬리 끌림 피크에 대칭 피크용 식을 그대로 적용하는 경우다. 꼬리는 주로 피크 아래쪽에서 퍼지기 때문에 반높이 폭에는 덜 드러난다. 그래서 반높이 식은 실제 띠 퍼짐보다 N을 크게 보여 줄 수 있다. 비대칭 계수나 꼬리 계수를 함께 보고 판단한다.
둘째, 서로 다른 계산법으로 낸 N을 한데 놓고 비교하는 경우다. 예전에 접선법으로 쌓은 추세 자료에 반높이 식으로 낸 최근 값을 이어 붙이면, 컬럼 상태는 그대로인데 값이 갑자기 뛴 것처럼 보일 수 있다. 소프트웨어를 업데이트했거나 약전이 개정된 뒤에는 계산 방식이 바뀌었는지 먼저 확인한다.
셋째, 기울기 용리 피크의 N을 등용매 조건의 N과 같은 뜻으로 읽는 경우다. 기울기 조건에서는 이동상의 용출 세기가 점점 커지면서 피크가 압축되어 좁아진다. 이때 계산값은 컬럼 고유의 효율이라기보다 그 조건에서 나온 겉보기 값이다.
넷째, 머무름이 아주 작은 초기 피크로 컬럼을 평가하는 경우다. 이런 피크는 튜빙·피팅 같은 컬럼 외 부피에서 생기는 퍼짐의 비중이 커서 N이 낮게 나온다. 컬럼 효율을 보려면 적당히 머무르는 성분을 쓴다.
다섯째, N이 크면 분리도 좋다고 단정하는 경우다. N은 띠가 얼마나 좁은지만 알려 준다. 두 성분이 실제로 갈리는지는 선택성과 머무름에도 달려 있다.
N 값 해석 전 점검 항목
- ✓피크가 대칭에 가까운가(꼬리 계수 확인)
- ✓tR과 폭의 단위가 같은가
- ✓비교하는 값들이 같은 계산식으로 나왔는가
- ✓등용매 조건의 피크인가, 기울기 용리 피크인가
- ✓머무름이 너무 작은 초기 피크는 아닌가
- ✓분리도를 함께 확인했는가
이어서 읽을 글: HPLC 피크 분리도 계산 실무와 미분리 진단 5단계
N을 구한 뒤 시험법 기준과 분리도에서 확인할 것
이론단수를 계산했으면, 적용 중인 시험법이 시스템적합성 항목으로 N을 요구하는지부터 본다. 요구한다면 어떤 계산식과 어떤 피크를 지정했는지 확인한다. 기준값과 계산 방식은 약전 각조나 공정시험기준 같은 각 시험법 원문이 정하므로, 그 숫자는 해당 원문에서 확인한다.
크로마토그래피 해설 자료도 'N이 2000을 넘어야 한다'처럼 맥락 없이 일률적인 하한을 두는 것을 경계한다. 서로 가까이 붙은 피크 쌍이 있으면 분리도가 더 직접적인 지표라고 지적한다. 그래서 N은 분리도, 꼬리 계수와 묶어서 함께 본다.
N이 이전보다 떨어졌다면 컬럼 노화만 의심하지 않는다. 피팅이 빠진 경우, 튜빙 교체로 컬럼 외 부피가 늘어난 경우, 시료 용매가 이동상과 맞지 않는 경우도 함께 점검한다. 같은 표준용액과 같은 계산식으로 추세를 쌓아 두면 이런 변화를 빨리 알아챌 수 있다.
